Нужно ли подавать уведомление в Центр занятости об увольнении сотрудников при ликвидации ООО?

Ответ зависит от того, был ли с директором заключён трудовой договор. Из вопроса это непонятно.
Если с директором трудовой договор заключён, то его нужно будет расторгнуть. Об этом следует уведомить Центр занятости не позднее, чем за 2 месяца.
Если учредитель возложил на себя обязанности директора своим решением, и трудовой договор с ним не заключался, то и расторгать нечего. На наш взгляд, в этом случае ЦЗН уведомлять также не о чем, ведь трудовых отношений с директором не было.